МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА

С давних пор люди любят игры, материал которых ограничивается числами. Эти самые непритязательные из всех игр претендуют на то, чтобы быть «гимнастикой» для ума, причем в такой мере, в какой его интересует число. Интерес в крови у каждого человека. Всех добрых вещей по три, семь — злое число, тринадцать же и вовсе роковое.

Здесь виден пережиток распространенной когда-то мистики чисел. Ученый-историк найдет немало тому доказательств. Вавилоняне, один из великих культурных народов древнего мира, увлекались большими числами. Эта склонность была свойственна еще Платону. Пифагор видел в числе корень или смысл всех вещей; доказательством его учения была для Пифагора музыка, ибо звук определялся числом колебаний, вызывающих его количество воздуха в секунду, а гармония звуков выражается в простых пропорциях соответствующих колебаний, и таким образом число неоднократно вторгается в музыку. Каббала связывает события, которые вмешиваются в человеческую жизнь, определяя ее ход, например, рождение и смерть, с помощью малых чисел — 1 для идеи единства, 2 характеризует пол, 3 означает пространство, 10 символизирует руку и т.д., числа, со своей стороны, связаны с буквами, например, aс 1, Ьс 2, буквы же со словами и именами. Таким образом число было для человеческого ума интересным предметом на протяжении тысячелетий.

Новое время более реально, чем прошедшее, относится к числу, но для математика, которого можно было бы назвать поэтом чисел, эта проблема и сегодня полна глубокой тайны.

Человек научился решать множество задач, и в этом он чувствует себя повелителем чисел, но он открыл гармонию в законах числа и нашел стимул к тому, чтобы ставить новые задачи и оказаться перед загадкой числа столь же восхищенным, как вавилонский жрец или Пифагор.

Одна из самых древних игр заключается в сложении небольших чисел. Она ведется следующим образом: два игрока договариваются, и каждый может, когда наступает его очередь, назвать число меньше 6 и прибавить к числам, названным ранее; тот, кто первым достиг 100, выигрывает.

Вопрос: какое число должен точно назвать игрок, когда наступила его очередь? Этот вопрос имеет решение. Оказывается, что тот, кто имеет право назвать первое число, является несомненным победителям, если только он правильно мыслит.

Чтобы ответить на вопрос, мы только представим себе, что оба игрока, A и B, в ходе игры уже приблизились к ста. Очередь хода A. Если сумма чисел, названных до сих пор, составляет 99 или 98, 97, 96 или 95, то он, конечно, победит, так как назовет в зависимости от обстоятельств 1, 2, 3, 4 или 5 и тем самым достигнет поставленной цели. А что если его очередь настанет при сумме в 94? Он не имеет права сказать 6, так как, согласно условиям игры, называется число, меньше 6. Что бы он ни назвал, 1 или 2, 3, 4 или 5, он дает противнику возможность выиграть. Отсюда вывод: что тот, кто с полной уверенностью хочет достичь 100, должен иметь в виду необходимость достичь числа 94, ибо он тем самым принуждает противника занять позицию, оборачивающуюся поражением.

Как можно применить тот же метод, когда сумма составляет 94? Чтобы с уверенностью набрать 94, надо достичь числа 88. Основанием для доказательства является, ceteris paribus (при прочих равных. — Лат., прим. пер.), как раз то, что приведено выше. А чтобы с определенностью набрать 88, следует сначала добраться до 82, по аналогии с вышесказанным. Затем можно без труда узнать закон прогресса. От 82 до 76, оттуда до 70, 64, 58, 52, 46, 40, 34, 28, 22, 16, 10 и 4. Тот, кто первым называет 4, несомненно, выигрывает, соблюдая вышеприведенную последовательность «остановок» 10, 16, 22, 28 и т.д.

Тот факт, что именно 100 называется в качестве конечной цели, не имеет отношения к методу. Можно было бы таким же образом в качестве пункта назначения выбрать менее круглое число — большее или меньшее. Ответ на вопрос о целесообразной стратегии игры остается всегда вот каким: достигни цели, если ты в состоянии сделать это, прыжками по 6 единиц каждый. Если, например, конечная точка, которую следует достичь, соответствует 31, то остановки соответствуют 1, 7, 13, 19, 25. Этот метод не срабатывает только в том случае, если цель недостижима. Если цель составляет 6, то тот, кто начинает игру, должен в силу необходимости проиграть, и точно то же имеет место, если цель — 12, 18 ..., короче говоря, кратна 6.

Равным образом и определение, в соответствии с которым называемое число должно быть меньше 6, можно сформулировать в общем виде, так как и это число точно также должно быть меньше 4, 10 или 7. Благодаря изменению этого числа изменяется только ширина прыжка, удаленность промежуточных станций друг от друга. Это расстояние будет составлять именно 4, 10 или 7 — в зависимости от ограничения сферы называемых чисел. Если, например, разрешены должны быть числа только менее 4 при конечной цели 30, то речь идет о станциях 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.