МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-2)

Тот, кто устанавливает правила игры, берет на себя, следовательно, определенную ответственность. Он не может без разбора составлять их, но должен рассудительно взвесить нормативы, чтобы возникла чистая игра, в которой каждое правило имеет стопроцентную важность.

Вот другой пример. Мы представляем себе кучку горошин, лежащую на столе. Два человека, A и B, играют в соответствии со следующими правилами. 1. Они попеременно делают ходы. 2. При каждом ходе они должны брать несколько горошин, но не больше пяти; им, однако, нельзя брать названное число, которое как раз взял противник, если не считать последней горошины.

Определим сначала минимальную промежуточную станцию. Если противник взял две горошины и на столе лежат еще 2, то я проиграл. Целесообразно будет охарактеризовать это положение с помощью двух чисел. Первое число указывает количество горошин в кучке, второе — следующий ход противника. Соответственно этому вышеописанное положение характеризуется как 2,2. Это промежуточная цель, расположенная ближе всего к основной цели или, так сказать, «минимальная» позиция с угрозой потери. Такая же и 3,3, но не 4,4, так как делающий первый ход берет две из 4 горошин в кучке и поэтому его результатом будет 2,2. 5,5, как и 6,3 — позиция с угрозой потери, потому что единственный спасительный ход в этом положении, а именно взять 3 горошины, запрещен правилами игры. При 7 тот, кто делает первый ход, всегда проигрывает. Следовательно, 7, как бы то ни было, является позицией с угрозой потери. 8,1 означает потерю, так как ход на 4,4 не спасает. 9 выигрывает, так как на этой основе можно создать 7,2 или 6,3. 10,3 не выигрывает, так как оттуда имеется доступ к 5,5. Проигрывает 11,4, как и 12,5. От 13 спасения нет. Следовательно, ряд позиций с угрозой потери начинается с 2,2; 5,5; 6,3; 7, любой ход; 8,1; 11,4; 13, любой ход. С этого момента, как будет установлено, ряд повторяется. 14,1 потерян, 15 выигрывает всегда, ибо имеется доступ к 11,4 или 13,2; 16,3 проигрывает, 17 выигрывает всегда; 18,5 проигрывает, 19,3 проигрывает, 20 любой ход проигрывает, 25,5 проигрывает; 26, любой ход, также. Этот цикл, состоящий из 13 элементов, наступает вновь и вновь, сначала между 26 и 39, где позициями с угрозой потери являются 27,1; 29,3; 31,5; 32,3; 33, любой ход; 34,5; 37,4; 38,5; 39, любой ход; и т.д., в соответствии с узнаваемым ритмом.

Если кучка первоначально содержит 100 горошин, то мы найдем верный ход, ища позицию 100 в вышеуказанном ритме, располагающемся между 7X13 и 8X13. 100 — девятое число этого периода. Тот, кто делает первый ход, выигрывает, создавая 98, так как на седьмой позиции периода стоит безусловная позиция с угрозой потери. Достаточным оказалось бы и создание 97,3. Но, если бы первоначально в кучке были бы 104 или 98 горошин, то при правильной игре проиграл бы тот, кто делает первый ход.

Этот пример показывает, как при татуировке повторяются мотивы и поэтому определяется период.

Еще один пример. Не разрешено брать больше 4 горошин за один ход, а при количестве в 6 взятие трех блокируется. Запрещено также оставлять 5 горошин. Пусть остальные правила остаются неизменными, как описано выше. В соответствии с методом татуировки, шаг за шагом, обнаруживаются следующие позиции с угрозой потери: 2,2; 6, любой ход; 7,1; 9,3; 10,4; 11, любой ход; 13,2, 16, любой ход; 17,1; 19,3; 20,4; 21, любой ход; 23,2; 26, любой ход. Период охватывает 10 чисел, например, от 7 до 16, оттуда позиции с угрозой потери повторяются. Тем самым идея «периода», вероятно, разъяснена.

Следующий момент встречается, если нет никакой договоренности о количестве отнимаемых плодов и, напротив, на стол укладываются различные кучки. Прототипом этой игры является «Возьми», по утверждению Аренса, древнекитайская игра. Метод татуировки успешен и в этой игре, но открыть математическую индукцию, ведущую к познанию общего закона возникновения позиций с угрозой потери, было очень трудно.

Правила игры гласят: два человека ходят попеременно. Ход заключается в том, что из одной из трех кучек, содержащих горошины, бобы или чечевицу, берут по несколько зерен в любом количестве. Побеждает тот, кто опустошит стол. Когда- то неизбежным оказывается момент, с наступлением которого одна из кучек перестанет существовать. Этот ход будет целесообразным только в том случае, если в данный момент две другие кучки содержат названное число зерен — правило, вывод о котором мы можем сделать на основе предыдущих соображений. Но если две другие кучки неравны по количеству, то такой ход ведет к потере. Конечно, играющий не всегда оказывается достаточно вооруженным, чтобы избежать хода, ведущего к проигрышу. Пример тому ситуация, в которой одна кучка содержит одно зерно, другая два, третья три. Что бы ни делал тот, за кем очередь хода, противник все равно выиграет, так как ожидающий хода не может сделать ничего, кроме как только приравнять друг к другу две кучки или удалить одну из кучек, на что противник ответит, уравняв две оставшиеся кучки. Мы делаем вывод, что ситуация 1, 2, 3, как мы хотим вкратце охарактеризовать ее, является позицией с угрозой потери; тот, кто делает ход в такой ситуации, проигрывает при наилучшей игре. 1, 2, 4, как и 1, 3, 4, являются выигрышными позициями, т.е. тот, кто делает первый ход, при правильной игре создает из них позицию с угрозой потери, а именно в обоих случаях позицию 1, 2, 3. Выигрышной является также позиция 1, 4, 4, так как и из нее тот, за кем ход, переходит к позиции 0, 4, 4, являющейся позицией с угрозой потери. А как обстоит дело с 1, 4, 5? Оттуда нельзя перейти ни к 0, 4, 4, ни к 1, 2, 3, в то время как другая позиция с угрозой потери не находится поблизости, т.е. недостижима. Поэтому от 1, 4, 5 можно перейти только к выигрышным позициям. Отсюда следует, что: 1, 4, 5 должна быть позицией с угрозой потери, ибо, какой ход не сделай, в этой ситуации нельзя передать противнику позицию с угрозой потери. 1, 4, 6; 1, 5, 6; 1, 6, 6 — выигрышные позиции: из них можно перейти к 1, 4, 5 или 0, 6, 6. А как обстоят дела с 1, 6, 7? Если уменьшить какую-либо из трех кучек 1, 6, 7, то в любом случае дойдет до позиции, уже узнанной в виде выигрышной. Поэтому 1, 6, 7 — позиция с угрозой потери. А теперь раскроем закон, в соответствии с которым ряд 1, 2, 3; 4, 5,6; 1, 6, 7; 1, 8, 9; 1, 10, 11; 1, 12, 13 и т.д. содержат сплошь позиции с угрозой потери. Короче говоря, это ряд 1,2n, 2n + 1, где под «п» предполагаются все значения ряда чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5...

Если мы однажды поняли закон, то его доказательство просто: если тот, кому принадлежит право хода, уменьшает одну из кучек 2n или 2n + 1, то с помощью целесообразного уменьшения другой для упомянутого ряда создается новая позиция с угрозой потери. А то, что 1 нельзя удалить, мы знаем из прежнего опыта. Тот, кто делает первый ход, что он и хотел бы сделать, при нормальном ответе противника никогда более не выйдет из ряда позиций с угрозой потери.