МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-3)

Перейдем теперь к кучкам, из которых ни одна не является пустой и ни одна не состоит из единственного зерна, но одна из них содержит два зернышка.

 Это следующий шаг в сторону от цели. 2, 2, 2 — выигрышная позиция, также и 2, 3, 4, так как она ведет к 2, 3, 1; 2, 4, 5 ведет к 1, 4, 5; но 2, 4, 6 не ведет ни к какой из уже известных позиций с угрозой потери. Тот, кто делает первый ход, должен, уменьшая одну из кучек, создать выигрышную позицию; следовательно, в соответствии с определением, имеется позиция с угрозой потери. Точно так же обстоит дело 2, 5, 7 в соответствии с приведенным аргументом, так как делающий ответный ход может создать позицию 2, 4, 6 или одну из позиций с угрозой потери.

Остановимся здесь. Если мы не должны находить закон ряда, который ищем, то вышеописанный процесс поиска промежуточных станций все же имеет успех. Систематически переходя от меньших чисел к большим, нам удастся охарактеризовать все возможные промежуточные станции. Если мы можем перейти от одной позиции, которую исследуем, к другой, то исследованная позиция является выигрышной; если не можем, то возникает позиция с угрозой потери. Третьего не дано, так как в процессе развития игры всегда достигается определенный результат. Исследуем ли мы в соответствии с методом «Возьми» или какую-то другую игру, ведущуюся между двумя партнерами, вышеописанный метод успешен, если только должен иметь место определенный результат.

Например, с помощью методичной татуировки мы достигли понимания 2, 4, 6, а также 2, 5, 7 как позиций с угрозой потери, и с помощью того же метода мы могли бы дойти до позиций с угрозой потери, которые все более и более удаляются от района целей 0, 0, 0. Если, например, нам представляется начальная позиция 100, 70, 63, то мы подготовлены к тому, чтобы с помощью татуировки решить, является ли эта позиция выигрышной или угрожает потерями, приближая данный процесс к предложенной позиции. Коль скоро это произошло, можно дедуцировать верный ход; в вышеупомянутом случае оказывается, что может быть достигнута позиция, угрожающая потерями 100, 70, 34, вслед за чем тот, кто делает ответный ход, принуждается к движению от одной позиции с угрозой потери к другой, пока он, в конце концов, находится ввиду ситуации 0, 0, 0 и должен признать свое поражение.

«Татуировка» — процесс не трудный, но долгий. Ее можно сократить, если найти закон рядов и затем методом дедукции вывести его. Но, если и не разгадать закон рядов, то можно всегда с успехом использовать процесс применительно к малым числам. Человеческого терпения и времени не хватало только для больших чисел. Чтобы решить, например, являются ли числа 3 470 581, 7 293 451, 6 800 000 выигрышной позицией или нет, и какова достижимая оттуда позиция с угрозой потери, методичная «татуировка» оказалась бы очень трудоемкой. Конечно, это уже не была бы игра, а более серьезное занятие. Для игры, которая всегда имеет дело с малыми числами, метод «татуировки» чрезвычайно интересен и обеспечивает соответствующий успех.

То, что при игре в «Возьми» используется метод «татуировки», не вызывает никаких сомнений. Я представляю себе, что первые игроки имели успех, распознавая определенное число позиций с угрозой потери: например, 0, 2, 2 и 1, 2, 3 и еще, к примеру, 2, 4, 6 и теперь стремились к концу игры передать противнику одну из этих знакомых им позиций. Если противник, что было вероятно по тем временам, оказывался не особенно хорошо обучен, то проигрывал почти всегда, конечно, к своему невыразимому удивлению, так как игра, как ему казалось, имела характер чего-то случайного. При дальнейшем развитии игры некоторые игроки, конечно, почувствовали в себе стремление расширить знание позиций, угрожающих потерей, но нигде, однако, не зафиксирована степень их продвижения. Можно отважиться на предположение, что знания нескольких сотен позиций с угрозой потери было достаточно для них в игровой практике, потому что едва ли можно собрать «кучку» из более чем двадцати горошин. Такие игроки находили эти позиции с угрозой потери, благодаря методу «татуировки». Но общий закон игры, математическая индукция рядов позиций с угрозой потери, была открыта только гением.

Я не знаю, кто осуществил математическую индукцию применительно к игре в «Возьми», но его дело достойно восхищения. Правило, в соответствии с которым можно решать, является ли какая бы то ни было ситуация позицией с угрозой потери, возникло очень давно, так что теперь едва ли можно понять, с помощью каких ассоциаций с идеями изобретатель смог вывести это правило, не говоря уже о том, чтобы его разгадать. Он распознал и передал нам это правило, сохранив свое имя в секрете. Мы охотно узнали бы о нем больше, но он счел за лучшее сохранить свое инкогнито. Теперь же можно лишь предположить, кем он был. Конечно, математиком, таким, по- видимому, который шел своим путем, при этом изобретателем и, вероятно, учителем, способным увлечь своих учеников.

Правило, дошедшее до нас, начинается с требования написать в диадической системе три числа, а именно количество горошин, бобов и чечевичных зерен. Основное число двоичной системы — два. Мы используем десятичную систему, основное число которой — десять, и в соответствии с этим у нас 10 числовых единиц

0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

с помощью которых мы пишем каждое число. Число

1929

в десятичной системе имеет, следовательно, значение

9 + 2 X 10 + 9 X 100 + 1 X 1000.

В двоичной системе, которая в качестве числовых единиц использует только 0 и 1, это число писалось бы следующим образом:

11 110 001 001.

Таким образом, его значение составляет 1 + 0 X 2 + 0 X 4 + 1 X 8 + 0 X 16 + 0 X 32 + 0 X 64 + 1 X 256 + 1 X 512 + 1 X 1024. Первое представление чисел осуществляется в соответствии со степенями числа 10, второе — согласно степеням числа 2. То, что каждое число имеет в двоичной системе одно, и только одно, представление, следует из характера его формирования. Все числа, меньшие 4, образуются с 2 или 1 знаками; они представляют собой 0, 1, 10 (=2), 11 (=3). Все числа до 8 с самое большее 3-мя знаками (100 = 4, 101 = 5, 110 = 6, 111 = 7), все числа до 16 с самое большее 4-мя знаками (1000 = 8, 1001 = 9, 1010 = 10, 1011 = 11, 1100 = 12,1101 = 13, 1110 = 14, 1111 = 15), все числа до 32 с самое большее 5-ю знаками, и т.д., в соответствии со степенями числа два, которые соответствуют 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024, 2¹¹ = 2048, 2¹² = 4096, 2¹³ = и т.д.

Вероятно, нет необходимости далее излагать этот пункт, так как каждый чувствует, что основное число нашей системы счисления (десять) вполне могло бы быть и другим. Десять пальцев обеих рук человека были хорошим счетным аппаратом, и поэтому «десят»ь утвердилось в качестве основного числа после того, как другие основные числа, у многих народов 5, 60 у вавилонян, 20 у кельтов и других народов, у некоторых племен 2 вступили в конкуренцию с ним и проиграли. Для математика не составляло труда отказаться от счетного аппарата в виде десяти пальцев и представить себе любое основное число «z». Для этого он формирует степени числа «z»

1, z, z², z³, z⁴, z⁵ ...

и пишет как угодно заданное число, например, миллион, узнавая, какие степени z меньше заданного числа, в нашем случае миллиона, и из кратного этих степеней составляя заданное число. Скажем, z = 7, и тогда ряд сомнительных степеней выглядит следующим образом:

1, 7, 49, 343, 2401, 16 807,

117 649, 823 543.

Деление миллиона на 823 543 в первый раз, остаток 176 457. Dies durch 117 649 geht einmal, Rest 58 808. Dies durch 16 807 geht dreimal, Rest 8383. Dies durch 2401 geht dreimal, Rest 1184. Dies durch 343 geht dreimal, Rest 155. Dies durch 49 geht dreimal, Rest 8. Dies durch 7 einmal, Rest 1.

Следовательно, миллион, записанный в семиричной системе,

выглядит следующим образом

11 333 311.

Принцип дела, вероятно, достаточно разъяснен нашими примерами и рассуждениями.

Следовательно, наш неизвестный открыватель закона игры «Возьми» повелевает нам написать три числа в двоичной системе, а именно друг под другом, как если бы мы хотели сложить их. Если они обнаруживаются, то он говорит нам, что в каждом ряду стоит несколько однозначных чисел, и тогда позиция является позицией с угрозой потери, в противном случае этого не будет никогда. Например (100, 70, 34) является позицией с угрозой потери, так как 100 пишется в двоичной системе как 1 100 100

70 -------  1 000 110

34 ------  100 010

и в каждом из 7 рядов условия выполнены. В последнем ряду стоят 3 нуля, в предпоследнем 1 ноль, 2 единицы, в третьем с конца так же, в четвертом с конца 3 нуля, в пятом с конца 3 нуля, во втором с начала 1 ноль, две единицы, в первом две единицы.

Пришли ли бы Вы, благосклонный читатель, к этой идее? Я — нет, по меньшей мере, я не нашел бы пути к этому, если бы мне не показал его автор. Теперь же я, пожалуй, вижу путь туда. Подражать легко, а вот положить начало — дело трудное!