МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-5)
Пойдем теперь к ряду трехчленных позиций, не содержащих 1, но зато 2. 2, 3, 6 — это позиция с угрозой потери, так
как ни уменьшение, ни расщепление одной из кучек не спасет делающего первый ход.
Таковой же является 2, 5, 8, как очень легко увидеть, если добавить позицию 1, 1, так как 1, 5 позволяет заменить 3, 1, 8 позицией 6 и, следовательно, 2, 5, 8 имеет тот же характер, что и 2, 3, 6. 2, 7, 10 — следующая позиция, о которой идет речь. Она представляет собой позицию с угрозой потери, так как расщепление ни 7, ни 10 не спасает делающего первый ход, что явствует из следующего анализа. 2, 6, 1, 10 или 3, 1, 10 — выигрышная позиция, также как и 2, 4, 3, 10 или 1, 3, 10, а также 2, 7, 9, 1 или 2, как и 2, 7, 6, 1,4 или 1, 7, 6. Следующая позиция, подвергаемая исследованию — 2, 9, 12. Расщепление 9 ведет друг за другом к 2, 8, 1, 12 или 4, 8,12, 2, 6, 3, 12 или 12, 2, 5, 4, 12, и все эти позиции оказываются выигрышными. Расщепление 12 на 2, 9, 11, 1 или 2, 7, 11; 2, 9,8, 4 или 1, 9, 8; 2, 9, 7, 5 или 2, 1, 5 ведет к возникновению только выигрышных позиций. Тем самым оказываются исчерпанными все возможности и 2, 9, 12 признается позицией с угрозой потери.
Если продолжать точно так же, то раскрываются следующие позиции с угрозой потери.
Таблица может быть достаточной для практических целей, а создать ее можно методом «татуировки».
Таблица позиций с угрозой потери
Я не нашел закона позиций с угрозой потери. Но мне кажется, что он пребывает в родстве с законом игры «Возьми». Игра, о которой идет речь, имеет свойство, общее с игрой «Возьми». Если играть в обе игры со сколь угодно большим количеством кучек, то для обеих игр имеет силу положение, в соответствии с которым две позиции с угрозой потери, приложенные друг к другу, создают новую и что две одинаковые кучки представляют собой позицию с угрозой потери. Как мне представляется, это определяет характер игр, которые находятся в тесном родстве с «Возьми».
Для такого рода игр имеют силу оригинальное соображения. Прежде всего обнаруживается, что две группы кучек могут быть «эквивалентны», ибо в каждой позиции с угрозой потери, где наличествует группа, она может быть заменена другой таким образом, чтобы характер позиции не ликвидировался. Две эквивалентные группы, приложенные друг к другу, создают позицию с угрозой потери. Следовательно, можно спросить, какие кучки эквивалентны группе маленьких кучек. При этом оказывается, что определенные кучки неэквивалентны группе маленьких кучек. Эти последние кучки представляют собой в игре «Возьми» степени числа 2:
1,2, 4, 8, 16...
Напротив, все остальные кучки эквивалентны группе маленьких кучек, например, кучка 6 эквивалентна группе 2, 4.В других играх вышеописанного типа можно найти другой ряд кучек, неэквивалентных группе маленьких кучек, и этот ряд устанавливает закон игры. Здесь разгадываются связи, еще остающиеся таинственными.
При вышеизложенном варианте игры «Возьми» кучками, неэквивалентными группам маленьких кучек, являются
1, 2, 3, 7, 15, 31...
Начиная с 3-й, каждая кучка такого рода, представляющая собой степень числа 2, уменьшается на 1. Любая кучка эквивалентна одной из этих кучек или эквивалентна группе кучек. Например, 4 эквивалентна 1,2; 5 — 1, 3; 6 эквивалентна 2, 3; 8 — 1, 2; 5 — 1, 2, 3; 9 эквивалентна 1, 7; 10 — 2, 7; 11 эквивалентна 3, 7; 12 — 1, 2, 7; 13 эквивалентна 1, 3, 7; 14 — 2, 3, 7; 15 эквивалентна 15; 16 — 1, 2,3, 7; 17 эквивалентна 1, 15; 18 — 2, 15; 19 эквивалентна 3, 15; 20 — 1, 2, 15. Этот ряд можно продолжать и, вероятно, закон ряда устанавливается математическими методами, если и не самым простым способом. Если этот ряд известен, то отсюда следует характер всех возможных для игры позиций с угрозой потери.
Чтобы дать новый пример для раскрытия преимуществ этого метода, установим, что ход игрока может заключаться в любом расщеплении любой кучки при одновременном отборе нескольких камней. Для этой игры имеют силу, очевидно, оба вышеприведенных положения, согласно которым a, a и две позиции с угрозой потери, приложенные друг к другу, дают позицию с угрозой потери. Следовательно, имеет силу положение об эквивалентах и кучках, которые не могут быть эквивалентно представлены маленькими кучками. Назовем эти последние кучки для краткости «простыми».
Простая кучка — 1, следующая 2. 1, 2 эквивалентна 3, так как 1, 2, 3, как легко увидеть — позиция с угрозой потери. Таким образом, следующая простая кучка — 4. Оказывается, что 1, 4 эквивалентна 5, так как позиция 1,4, x, где x больше 5, в соответствии с правилом игры приводят в обеих кучках 1, 4 в результате расчленения x на две кучки 1, 4 к выигрышу. Точно так же 2, 4 эквивалентна 6; 1, 2, 4 эквивалентна 7, а 8 — простая. Закон уже разгадан: простые кучки — 1, 2, 4, 8, 16... те же самые, что и в игре «Возьми».
Отсюда мы делаем вывод, что все позиции с угрозой потери игры «Возьми» являются позициями с угрозой потери и в этой игре. Это также совершенно правильно и поддается установлению с помощью строгой дедукции. Путем к такой цели является математическая индукция. Я позволил себе представить вниманию читателей, наделенных вкусом к математическим выкладкам, эту маленькую задачу.
Другая модификация правил игры, блокирующая определенные числа, например, 2, 3, 7, 13 и т.д., не оказывает на закон позиций с угрозой потери сколько-нибудь серьезного влияния. Заблокированные числа просто вычеркиваются, не вычеркнутые числа пересчитываются и для этого подсчета имеют силу те же позиции с угрозой потери, что и в игре «Возьми». Например, если 2 блокировано, на ее место приходит 3, 4 занимает место 3 и т.д. Если блокировано и 7, то теперь на место 8 заступает 6, и т.д. Поэтому при заблокированных 2 и 7 1, 3, 4 заняли бы место 1, 2, 3, как и 3, 5, 8 заменили бы 2, 4, 6, став позициями с угрозой потери, а в соответствии с этим правилом следовало бы действовать в общем, как если бы многие позиции были бы блокированы.
Подобным образом обстоит дело, если блокированы определенные ходы. Если, например, запрещено сокращать кучку с 7 до 5, то 5, 7 — позиция с угрозой потери, вследствие чего 5 эквивалентно 7, т.е. оба числа взаимозаменяемы и блокирование хода имело бы, следовательно, такой же результат, что и блокирование 7. Но при блокированиях ходов могут возникнуть осложнения, которых не приходится ожидать в случае блокирования полей. Например, блокированы ходы с 7 до 3, как и с 9 до 3. Поэтому 3, 7 — позиция с угрозой потери, а 3, 9 не является таковой, так как ход с 9 до 7 не блокирован. Вместе с тем 1, 2, 7 — позиция с угрозой потери, напротив, 1, 2, 4, 7 — нет, как не является таковой 3, 4, 7 и, напротив, такова 3, 4, 8. Ряд простых кучек рассчитывается при таких правилах блокировки следующим образом. Ряд начинается с 1 и 2. 1, 2 эквивалентна 3 и 7, 4 простая. 1, 4 эквивалентна 5; 2, 4 — 6, 1, 2, 4 — 8; 9, следовательно, оказывается простой; 1, 9 эквивалентна 10, а не 8, так как единственно нормальный ответный ход, возвращение 8 на 7, опровергается ходом 6 на 2. 2, 9 эквивалентна 11; 1, 2, 4, 6 — 13; 1, 2, 9 эквивалентна 12; 1, 4, 9 — 14; 2, 4, 9 эквивалентна 15; 1, 2, 4, 9 —16.Простой оказывается кучка 17.Закон уже осознан. Короче говоря, блокирование хода 9 на 3 не имеет никакого влияния после блокирования хода 7 на 3.
Если теперь, например, выдвинуть правило, согласно которому четные кучки нельзя уменьшать наполовину, то это определение действует на ряд простых кучек не иначе, как если бы были блокированы все двойные нечетные числа 2, 6, 10, 14, 18 и т.д. После сказанного выше это, вероятно, можно понять.