Шахматы в Питере Шахматы в Питере

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-8)

Можно даже в соответствии с тем же алгоритмом вывода, охарактеризовать для аналогичной игры с участием n игроков позиции с угрозой потери как те, которые при двоичной записи кучек в каждом ряду дают число, делимое на «п». Правило игры заключается в том, что теряет больше всего тот, кто должен ходить при пустой доске.

 Остальные игроки теряют все меньше. Немногие участвуют в выигрыше, в то время как партнер проигравшего, находящийся сзади, выигрывает больше всего. Затем игра толкает интересы каждого из участников к тому, чтобы сделать для победителя выигрыш возможным, тогда как проигравший более всего не может противостоять гибели никаким ходом.

Математику, вероятно, будет нетрудно обострить процесс доказывания, применяя математическую индукцию, для начала с помощью нанесения татуировки, т.е. подтвердив правило, требующее доказательства для небольшого числа зерен, и затем сделать вывод от n до n+1. Такого рода ужесточение способа, имеющее более технический характер, конечно, не является необходимым. Позиции с угрозой потери при n игроках поддаются определению, благодаря их свойству, заключающемуся в том, что только в результате n ходов логическим путем позиции можно вывести одну из другой, в то время как все остальные позиции уже за менее чем n ходов ведут к возникновению позиции с угрозой потери. При возникновении позиции с угрозой потери и выигрышной позиции, указанной выше, интерес второго находящегося спереди партнера выигравшего заключается в том, что решение принимается уже на ходу n—2, с учетом ?? возможного числа ходов, а не на n—1, ибо в противном случае он проиграет больше; следовательно, этот игрок создаст позицию, которая уже ходами n—2 ведет к решению, и надеется, что это произойдет. Третий партнер, находящийся спереди, сделает по той же причине ход, который в течение n—3 ведет к возникновению позиции с угрозой потери и т.д. Ясно, что игра интересов имеет успех, о котором шла речь, и тем самым тезис доказывается со всей строгостью.

Коль скоро потери и выигрыши не распределяются в соответствии с вышеуказанным правилом, интересы, а следовательно, и мотивы игроков оказываются иными, чем приведенные выше, и тем самым аргумент, приведенный выше, предстает несостоятельным. И в этом случае в результате упомянутой игры возникает хорошо определенная стратегия, которая при n игроков знает n различных видов позиций, например, при трех игроках проигранный, выигранный и ничейный результат, однако правило этой стратегии не поддается такому пониманию с помощью вычисления, которое имело место выше. При участии трех игроков возникает игра, для которой выше уже была приведена таблица и, вероятно, число 6 для данного случая играет столь же значимую роль, сколь и число 2 в игре «Возьми», где 2 предпочитается в качестве способа написания чисел. Как бы то ни было, меня не посетило спасительное озарение в связи с данной игрой, и я был вынужден поневоле удовлетвориться тем, чтобы представить ее в виде проблемы.

Если, как я надеюсь, за решение задачи возьмутся новые, свежие силы, то ее решения ждать долго не придется.

Проблема вовсе не является чем-то несущественным. С самого начала ясно, что она допускает единственное решение. После этого дает себя знать великая сила понятийного анализа, толкая ко все более широким и плодотворным проблемам единоборств, с ожидаемым конечным успехом, бросающим свет на теорию борьбы и со стороны математики. И что было бы, вероятно, практически важнее, чем отдать должное теории борьбы. Ведь каждое усилие человека, будь оно самым тривиальным или благороднейшим, может рассматриваться как преодоление сопротивления, если только оно очерчено как борьба за достойные цели.

С математическими единоборствами можно, по всей вероятности, соединить элемент случайности. Найдется достаточно примеров, чтобы подтвердить это. Например, на столе лежат 20 камешков. A и B играют в них, попеременно делая ходы. Тот, за кем ход, бросает кубик и может взять столько камней, сколько указано на кубике. Выиграет тот, кто взял последний камень.

Чтобы найти правильный план, необходимо рассчитать, с какой вероятностью победит как раз делающий ход. Например, если на столе лежит еще один камешек, то, конечно же, побеждает тот, у кого право хода, так как он может его забрать, что показывает и кубик. Вероятность W1 — так мы ее обозначим — равна 1, а обратное ожидание = 0. Если на столе лежат два камешка, то тот, за кем очередь ходить, может надеяться, по крайней мере, выбросить 2, следовательно, вероятность W2 составляет 5/8, а противоположная — 1/6. Чтобы рассчитать W3, нам надо описать надежду делающего ход. Она заключается в том, чтобы бросить по меньшей мере 3 или, если это не происходит, чтобы противник бросил вслед за тем 1. В 4 случаях из 6 бросают как минимум 3. Если 3 не бросают, то, конечно, чтобы дать противнику минимальный шанс, возьмут только один камешек. Следовательно, кроме выигрыша в 4 случаях из 6, в двух других тот, кому принадлежит следующий ход, все еще будет обладать шансом при счете в 2 камешка, и он составляет 1/6. Следовательно,

W3 = 2/3 + 1/3 ■ 1/6 =13/18

Шанс делающего следующий
ход = 5/18

Вероятность W4 состоит из шанса, заключающегося в том, чтобы бросить по меньшей мере 4 и, если такой результат не наступает, из шанса делающего следующий ход при счете в 3 камешка. Оказывается

W4 = 1/2 + 1/2 ■ 5/18 =23/36

и делающего следующий ход — 13/36

Также W5 = 1/3 +2/3 ■ 13/36 =
31/54,

а делающего следующий ход = 23/54

И W6 = 1/6 + 5/6 ■ 23/54 =
169/324,

делающего же следующий ход = 155/324

При 7 камешках тот, за кем следующий ход, отказывается от своего броска, так как наиболее благоприятно для него будет при всех условиях взять один камешек.

Шанс делающего первый ход
W7 = 155/324,

делающего следующий ход
=169/324

При 7 камнях на столе ход, следовательно, оборачивается ущербом. При 8 он — преимущество, так как делающий ход, не бросая, возьмет камень. Это преимущество составит W8=169/324; W9 = 5/6 ■ 169/324 + 1/8 + 155/324, так как в 5 случаях из 6 делающий ход возьмет два камня, в 1 из 6 только 1. Рекомендуется не считать совсем уж точно, а ради обозримости выражать рассчитываемую вероятность в процентах. Так оказывается

W1 = 100
W2 = 83,3

W3 = 72,2 W4 = 63,9 W5 = 57,4 W6 = 51,2 W7 = 48,8 W8 = 51,2

W9 = 5/6 ■ 51,2 + 1/6 ■ 48,8 =
50,8

W10 =4/6 ■ 51,2 + 2/6 ■ 49,2 =
50,5

W11 = 1/2 ■ 51,2 + 1/2 ■ 49,5 =
50,3

W12 = 1/3 ■ 51,2 + 2/3 ■ 49,5 =
50,2

W13 =1/6 ■ 51,2 + 5/6 ■ 49,8, что
совсем ненамного
более 50 процентов.

При 14 камнях целесообразно, не делая броска, забрать один. Поэтому W14 лишь немногим менее 50 процентов. Следовательно, закон ясен. Следует стремиться заставить противника сделать ход при 7, 14, 21 камешке и т.д. Если это удастся при 7 камешках, то из 100 партий будет выиграна 51, а проиграно только 49. Конечно, при 14 камнях преимущество обнаруживается только по завершении нескольких тысяч партий.

Изменим правило игры, чтобы уподобить ее известной детской игре. Лошадка бежит по прямой, размеченной числами. Цель — 0, остановки — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д. Исходная точка, например, 20. Тот, кто делает ход, бросает кубик и двигает лошадку ближе к цели в соответствии с числом, показанным на кубике. Если игрок находится поблизости от цели, например, на 2 или 1, и выпадает большее число, нежели обозначающее его станцию, то он должен, дойдя до цели, вернуться назад, так как ему следует сделать столько шагов, сколько показано на кубике. Здесь у него нет выбора. Если, например, он стоял на 3 и бросил 5, то должен был следующим образом сосчитать 5: 2, 1,0, 1, 2; таким образом, лошадка доходит до 2. Эта игра продолжается ход за ходом, пока лошадка не достигнет цели, и счастливец, ведущий лошадку к цели, выигрывает ставку.

Хотя этой игре и присущ определенный автоматизм, в ней есть «изюминка». Дело в том, что право первого хода иногда оказывается недостатком. Это обнаруживается, если при имеющейся ситуации рассчитать вероятность, что победит тот, за кем очередь хода.

На полях, находящихся непосредственно перед полем, о котором идет речь, на участке от 1 до 6, тот, кто имеет право первого хода, располагает преимуществом, позволяющим надеяться, что он достигнет цели единственным ходом. В 1 случае из 6 тот, за кем следующий ход, больше не делает броска, поэтому шансы делающего первый ход и следующего за ним игрока относятся друг к другу непосредственно перед полем, которое мы рассматриваем, как 6 : 5. Следовательно, в процентах

W1 = 54,5 и W2, W3, W4, W5, W6
столь же велик.

При уровне 7 тот, за кем следующий ход, продвигается в пограничную территорию,

следовательно, W7 = 45,5. При уровне 8 тот, за кем следующий ход, продвигается в 1 случае из 6 к 7, в 5 случаях из 6 в пространство непосредственно перед полем, которое мы рассматриваем. Следовательно, W8 = 1/6 ■ 54,5 + 5/6 ■ 45,5 = 47 При уровне 9 оказывается, что W9 = 1/6 ■ 53+ 1/6 ■ 54,5 + 4/6 ■ 45,5 = 48,2

И указанным образом оказывается:

W10 = 49,3

W11 = 50,2

W12 = 50,9

W13 = 51,5

W14 = 50,5

W15 = 49,9

W16 = 49,6

W17 = 49,6

W18 = 49,7

W19 = 49,7

W20 = 49,8

В ходе одной-единственной партии нет большой разницы в том, начать ли или делать следующий ход при счете 20, но при частом повторении игры это обстоятельство, вероятно, имело бы большое значение. Впрочем, нас метод интересует больше, чем результат. Достаточно и того, что такие игры можно рассматривать с точки зрения борьбы и выявлять как преимущества, так и недостатки.

Пример, в котором стратегия имеет большее значение: двум лошадкам надо пробежать путь, состоящий из 6 станций. Лошадка, первой пришедшая к цели, выигрывает одну фишку, другая, дойдя до цели — три фишки. Два игрока ходят попеременно. Ход заключается в том, чтобы игрок бросал кубик, а затем двигал одну из лошадок, причем так, чтобы не идти к цели более чем на число станций, выпавшее в результате броска.