МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-6)

Рассмотрим еще одну модификацию игры «Возьми». Имеются два ряда камешков, на белой и на черной досках. Ход заключается в уменьшении кучки, остающейся на той же доске, или в передвижении кучки с белой доски на черную.

Позиции кучек с угрозой потери, целиком располагающихся на черной доске, те же самые, что и в игре «Возьми». Если кучки находятся на белой доске, то для них допустимо движение по черной доске. При этом оказывается, что кучка на белой доске эквивалентна находящейся на черной, а именно белая кучка 1 — черной 2, белая кучка 2 — черной 1, и в целом нечетное число одного цвета следующему четному числу другого цвета. Это видно сразу же, если анализировать позиции с угрозой потери, состоящие из одной белой и одной черной кучки, а такой анализ — легкая задача в соответствии с уже нередко обсуждавшимся методом. В соответствии с этим определяются позиции с угрозой потери, состоящие из отчасти белых кучек. Например, 3 белые кучки 1, 3, 5 — позиция с угрозой потери. Если тот, чья очередь ходить, защищается, разместив 5 белых кучек на черной доске, то теперь позиция эквивалентна черной позиции 2, 4, 5. В такой позиции тот, за кем ход, должен перевести 2 в 1, что здесь и происходит, если положить белую доску на черную. Так формируется позиция белые 3, черные 1, 5.Если теперь защищающийся берет камешек из кучки, состоящей из пяти, то нападающий делает ответный ход, который был бы необходим при нормальной игре в случае формирования позиции 4, 4, т.е. этот игрок забирает один черный камешек. Тогда возникает позиция с угрозой потери белые 3, черные 4, которая в соответствии с описанным выше принципом доигрывается до конца.

В соответствии с той же основной идеей можно установить правило, согласно которому кучка может быть перемещена с доски, где она находится, на другую, но не ad libitum (по желанию, по своему усмотрению. — Лат., прим. перев.), а при соблюдении предписанного правила. При этом у фантазии значительная свобода действий. Можно, например, установить, что доски обозначаются числами, начиная с 1, далее, увеличиваясь, до 2, 3... и что кучку можно переместить на любую другую доску меньшего числа, но никогда не на доску большего числа. Позиции с угрозой потери на доске 1 при этом правиле игры будет такой же, что и в игре «Возьми», а кучка камешков h на доске n эквивалентна кучке на доске 1. Следовательно, в данной игре речь идет только о том, чтобы открыть закон этой эквивалентности, что имеет силу применительно ко всем играм, сконструированным согласно вышеназванному предписанию. В особом случае только что названного правила игры это удается достаточно легко, так как кучка «h» на доске «п» может быть представлена в виде двух кучек, одной «h», другой «п», и в соответствии с этим правилом игры «h» или «п» могут быть уменьшены, только с особым условием, согласно которому имеется возможность свести «h», как и «п», к нулю, удаляя кучку «h». Тем самым возникает игра, действительно родственная «Возьми». Разгадывается, что кучка «h» на «h»-ой доске эквивалентна не 0, а кучке 1 на доске 1, так как, если защищающийся удалит зерно, то делающий следующий ход удаляет кучку «h» и тем самым стремится зафиксировать вышеуказанное соотношение при уменьшении кучки «h» или счетной доски. Если оба числа назвать «h» и «п», из которых первое должно обозначать число камешков в кучке, второе — число доски, «соединенным», то следует, что соединенные числа «h», «h» эквивалентны 1, 1.

Так как мы после прежних «татуировок» знаем и некоторые другие случаи эквивалентности, а именно 3,2; 4,1 и 4,2; 3,1, то мы располагаем некоторым материалом, чтобы разгадать, какие же свойства должен иметь общий закон. Это, как мне представляется, гласит, что «a», «b» эквивалентно «c», 1 в том и только в том случае, если «a» — 1, «b» — 1 и «c» — 1 является в «Возьми» позицией с угрозой потери. Доказательство осуществляется, вероятно, следующим образом. Мы знаем, что место правильно, если b =2.Предположим теперь, что b = 3, и a — 1, 2, c — 1 является позицией с угрозой потери в «Возьми». Мы должны показать, что «a», 3 эквивалентно «c», 1. Теперь в позиции «a», 3; «c», 1 защищающийся имеет следующие ходы. Он может передвинуть кучку «a» на более низкую доску, удалить эту кучку или уменьшить кучку «c». В первом случае нападающий, конечно, может создать новую позицию с угрозой потери, т.е. единственно возможным оборонительным ходом остается уменьшение «c». Скажем, защищающийся делает из «c» маленькое «d». Затем атакующий может исследовать позицию «a» — 1, 2, «d» — 1 в «Возьми», которая, несомненно, является выигрышной позицией для «Возьми», так как «a» — 1, 2, «c» — 1 была ведь зато позицией с угрозой потери. Эта позиция ведет в результате уменьшения «a» или 2 к формированию позиции с угрозой потери в «Возьми». Если правильного ответа можно достичь уменьшением 2, то, следовательно, в нашей исследованной здесь игре возникает позиция с угрозой потери. Но, если правильным ответом в «Возьми» является уменьшение a, причем «a» превращается в «A», то теперь возникает позиция

A, 3 d.

Таким образом нападающий отвечает выигрышным ходом или вышеуказанная позиция должна предоставить защищающемуся выход. Вот только для защищающегося плохо то, что применительно к этой позиции снова имеет силу обсуждаемая здесь предпосылка, а именно, что A — 1, 2, d — 1 является позицией с угрозой потери «Возьми» с затруднением, состоящим в том, что A меньше «а», «d» меньше «c». Так защищающийся оттесняется с позиции к позиции, относительно которой верна предпосылка, в то время как кучки постоянно уменьшаются. Но кучки не могут уменьшаться до бесконечности, и кучки вышеописанного характера, например, 2, 3; 4, 1 и 1, 3; 3, 1 и 3, 3; 1, 1 не являются опорой для защищающегося. Следовательно, он проиграл в вышеописанных позициях.

Именно так доказывается теперь тезис применительно к «b» = 4 и далее «b» = 5, «b» = 6 и т.д. Поэтому позиции вышеописанного характера — всегда позиции с угрозой потери.

Исходя из этой игры, можно исследовать и другие, возникающие в результате блокирования переходов от определенных досок на некоторые другие. Для этого надо только применить теорию блокирующих ходов, что было рассмотрено выше.

Здесь я хотел бы обратить внимание на ту пользу, которую обеспечивает тонкий учет понятий. Не всегда в отдельных случаях нужна трудная работа татуирования, если только точно отдавать себе отчет в понятиях, важных для этих игр, и пытаться сделать отсюда выводы.

Новый момент наступает, если в игре участвуют более двух человек. Правда, для такого наступления необходимы условия двух видов. Во-первых, правила игры должны стремиться быть справедливыми в отношении каждого игрока, т.е. они должны отмерять устанавливаемые ими вознаграждения и наказания. Во-вторых, если выполнена предпосылка, сформулированная выше, то игроки должны действовать эгоистически, т.е. стремиться к вознаграждению и к тому, чтобы избежать наказания. Как вознаграждение, так и наказание могут быть им безразличны, но они должны именно так вести себя, будто вознаграждение их как нельзя более радует, наказание же унижает. Это коренится в духе игры, этика которой в том и заключается, чтобы заимствовать ходы из действительности и рассматривать их ради игры как нечто вполне реальное — так, например, как актер, преданный искусству, понимает свою роль.

Начнем, с другой стороны, с очень простой игры. Кучка в сто горошин лежит на столе; A, B и C играют, по очереди забирая со стола горошины. Никто не имеет права забрать больше 5. Тот, кто опустошает стол, выигрывает у своего партнера, находящегося сзади, в то время как его партнер, находящийся спереди, не проигрывает и не побеждает. A должен начинать, за ним следует B, потом C, затем снова A и т.д. Каков правильный ход A?

Мы должны снова попытаться применить метод промежуточных остановок. Если стол опустошен так, что остались 6 камешков, то проигрывает тот, кто делает первый ход, в то время как тот, кто ходит вслед за ним, улаживает миром, т.е. не выигрывает и не проигрывает. Это ясно. Если перед B 7 горошин, то он не проиграет, если возьмет одну из них, при каждом ином ходе он проиграет. Поступая благоразумно, он возьмет одну горошину и кончит миром. C проиграет, A выиграет. Следовательно, при такой игре следует различать по меньшей мере три вида позиций:

1.Позиции с угрозой потери: партнер, находящийся спереди, выигрывает;

2.Выигрышные позиции: ведущий нейтрален;

3.Ничейные позиции: партнер, находящийся спереди, проигрывает.

A, который начинает, должен стремиться к тому, чтобы передать своему партнеру B, находящемуся спереди, ничейную позицию, она наступает после того, как со стола взяты 93 горошины. Поэтому теперь целью A является не 100, а 93 горошины. Действуя далее, он доходит до 86, 79... и в конечном счете до двух. A начинает со снятия со стола двух горошин и должен теперь ждать, чтобы B свел вничью, а C проиграл.

B может достичь этого результата, беря одну горошину, вслед за чем, что бы ни делал C, A оставляет на столе еще 91 горошину, вслед за чем B снова берет одну горошину, и т.д. Но, если B честолюбив и не видит имеющихся связей, то он отступит от этой строгой тактики, и затем A лишится своего выигрыша. Это представляется несправедливым, и все же имеется компенсация. B не может осуществить этот поворот в пользу A, не оказавшись в опасности пострадать самому, так как он предоставляет C силой добиться выигрыша и принудить B к потере. Если B берет более чем одну горошину, то он получает выигрышную позицию и при правильной игре передаст A ничейную позицию. Только если C достаточно неразумен, чтобы вместо выигрышной позиции обеспечить себе ничейную, A будет проигравшим, а B выигравшим. Таким образом, A выигрывает в том случае, если B не действует в противоречие со своими собственными интересами, и не проигрывает, если и C не совершает ту же ошибку.

Конечно, если как B, так и C совершают эту ошибку, чтобы затем безошибочно довести игру до конца, A проиграет. И все же вероятность этого при условии честной игры очень мала. Тот, кто один раз ошибся, никогда больше не ошибется, так как понимание, благоразумие и старание неотъемлемы от обретения правильного пути и движения по нему. Только в случае, если B и C внезапно обрели понимание во время игры, заключение, сделанное выше, ошибочно.