Шахматы в Питере Шахматы в Питере

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-9)

Чтобы найти правильную стратегию, следует определить в каждом из возможных положений вероятный выигрыш делающего первый ход. Положение обозначается двумя числами, указывающими расстояние лошадок от их станции.

 Например, 0,1 стоит три фишки, так как делающий первый ход, что бы он ни бросал, ведет вторую лошадку к цели. 1,1 стоит только одну фишку; тот, кто делает первый ход, ведет лошадь к цели, а следующий — вторую. 0,2 выигрывает 3 фишки в 5 случаях из 6, т.е. обладает ценой 5/6 х 3 = 2 1/2 фишек. 0,3 выигрывает 3 фишки в 4 случаях из 6 и в 2 случаях из 6, и у того, кто делает следующий ход, имеется шанс при счете 0,2, следовательно, 0,3 = 2/3 х 3 + 1/3 х 1/2 = 2 1/6. То же имеет место при 0,4 = 1/2 х 3 + 1/2 х 5/6 = 23,12, 0,5 = 1/3 х 3 + 2/3 х 13/12 = 31/18, 0,6 = 1/6 х 3 + 5/6 х 23/18 = 169/108, а противоположный шанс при счете 0,6 составляет 155/108. Со своей стороны 1,1 = + 1, противоположный шанс + 3. Какой будет правильная стратегия при 1,2? Очевидно, превратить 2 в 1.

Следовательно, 1,2 = + 3.

При счете 1,3 в случае броска имеется следующий выбор. Во-первых, выиграть фишку и принять во внимание шанс делающего следующий ход при 0,3: в результате этого одерживается победа 1 + 5/6. Во- вторых, сократить ситуацию до 1,2, вслед за чем противник достигает + 3 и, следовательно, игрок 1. Первый шанс лучше.

При бросках с более высокими результатами добиваются 1,1.Следовательно, 1,3 = 5/6 х 3 + 1/6х11/6 = 101/36; противоположный шанс обладает ценностью в 43/36. В соответствии с этим методом можно установить ценность вероятного выигрыша того, кто делает первый ход в любом положении, и составить следующую таблицу, с помощью которой, в соответствии с тысячными долями фишек, вычисляется выигрыш того, кто делает первый ход.

0,1 = 3 000

1,1 = 1 000

2,2 = 1 417

3,4 = 2 306

5,5 = 1 963

0,2 = 2 500

1,2 = 3 000

2,3 = 2 583

3,5 = 2 204

5,6 = 2 169

0,3 = 2 167

1,3 = 2 639

2,4 = 2 481

3,6 = 2 222

6,6 = 2 069

0,4 = 1 917

1,4 = 2 694

2,5 = 2 452

4,4 = 1 889

 

0,5 = 1 722

1,5 = 2 639

2,6 = 2 444

4,5 = 2 195

 

0,6 = 1 565

1,6 = 2 623

3,3 = 1 694

4,6 = 2 223

 

При рассмотрении таблицы можно будет выявить стратегию, правильную для каждого положения. Из нее видно, что при положении 2,4 и броске с результатом в 2 или выше лучшим является ход на 2, 2 так как перспективы выигрыша для того, кто делает следующий ход, там выше, составляя 2 583, нежели при любом другом ходе. Даже при положении 2, 6 и броске ценностью в 4 или более всегда будет правильно создать положение 2, 2 и отказаться от движения лошади к цели. В ситуации 3, 6 и при броске ценностью как минимум в 3 выгоднее будет привести лошадь к цели, нежели передать противнику положение 3, 3, хотя это весьма неблагоприятно.

Преимущество такого рода игр заключается в возможности задействовать любое число участников. Правда, если некоторые из них понимают принцип, согласно которому решается, какова правильная стратегия, в то время как кто- то другой, играя, следует своим капризам или необоснованным фантазиям, то рассудительным игрокам нужно много терпения и немного чувства юмора, так как им самим достаточно часто приходится страдать из-за ошибок других. Но такова уж жизнь. Понимание не является просто выигрышем, нет, оно обязывает просвещать более слабых, причем в соответствии с собственным интересом.

В этом есть хорошие и плохие стороны, и я не знаю точно, насколько оправдывается расчет, да, кстати, и другие знают это столь же мало; но я, несмотря ни на что, придерживаюсь данного правила. Не помню, какая женщина сказала о своем муже: «Я люблю его, несмотря на все его недостатки». Так же и я отношусь к умудренности, но не хотел бы быть догматиком.

Так каков же принцип правильной игры, в которой допустим трое участников? Порядок игроков, A, B и C, определяется с самого начала. A начинает, B ходит следом, C после B, A вслед за C и т.д. При каждом уровне делающий первый ход, второй и третий игроки будут иметь определенные шансы, и они рассчитываются по методу промежуточных станций. Возьмем в качестве простого примера ипподром, по дорожке которого лошадь бежит к цели. Тот, кому следует ходить, бросает кубик и ведет лошадь на несколько остановок вперед, на сколько он хочет, но не больше числа, указанного на кубике. Тот, кто доводит лошадь до цели 0, забирает три фишки из банка, в который на старте каждый участник поставил по фишке.

Шанс делающего первый ход при уровне 1 оценивается в три фишки, так как он выигрывает наверняка, шансы же второго и третьего равны нулю. При уровне 2 тот, кто делает первый ход, имеет шанс бросить 2 или более. Его шанс составляет 5/6 х 3 = 1/2, шанс второго игрока 1/6 х 3 = 1/2, третьего = 0. При уровне 3 тот, кто делает первый ход, имеет шанс бросить 3 или более. Если он этого не сделает, то второй игрок имеет шанс того, кто делает первый ход, при уровне 2, а третий игрок — шанс второго игрока при уровне 2, т.к. после того, как игрок бросил кубик, он теперь становится тем, кто делает первый ход, а третий — вторым.

Так при уровне 3 рассчитывается шанс того, кто делает первый ход 2/3 х 3 = 2; шанс второго игрока 1/3 х 2 1/2 = 5/6; шанс третьего игрока 1/3 х 1/2 = 1/6

Если мы при уровне «n» назовем шанс того, кто делает первый ход, «a» (n), того, кто делает второй ход, «b» (n), а делающего третий ход «c» (n), то окажется:

a (4) = 1/2 х 3 + 1/2 х c (3) =
19/12

b (4) = 1/2 х a (3) = 1
c (4) = 1/2 х b (3) = 5/12
a (5) = 1/3 х 3 + 2/3 c (4)=
46/36

b (5) = 2/3 a (4) = 38/36
c (5) = 2/3 b (4) =24/36
a (6) = 1/6 х 3 + 5/6 c (5)=
19/18

b (6) = 5/6 a (5) = 230/216

c (6) = 5/6 b (5) =190/216

a (7) = c (6)

b (7) = a (6)

c (7) = b (6)

Последние значения объясняются тем, что при уровне 7 делающий первый ход, что бы он ни получал в результате броска, поступит, конечно, наилучшим образом, продвигая лошадь на одну станцию.

a (8) = c (7) = b (6)

b (8) = a (7) = c (6)

c (8) = b (7) = a (6)

a (9) = c (8) = a (6)

b (9) = a (8) = b (6)

c (9) = b (8) = c (6)

При уровне 10 делающий первый ход, стремясь выиграть самую большую достижимую величину «c», предпочтет уровень c (8); следовательно, если он сможет, то возьмет 2 станции. Следовательно,

a (10) = 5/6 c (8)+ 1/6 c (9)

b (10) = 5/6 a (8) + 1/6 a (9)

c (10) =5/6 b (8) + 1/6 b (9)

Тем самым принцип дела уже становится ясен. Таблицу можно продолжать сколь угодно далеко. В любой момент она указывает верный ход.

Со всем тем, вероятно, на принцип промежуточных целей в его связи с принципом математической индукции было (при использовании дебютного материала) пролито достаточно света. Область простирается, правда, в бесконечное, но это не является возражением для опытного игрока. Памятуя о том, что еще остается сделать и открыть бесконечно много, он, пребывая в хорошем настроении, совершает скромную работу, для которой у него достаточно сил. Не иначе, как если бы он был садовником, ухаживающим за деревьями, которые одарят своими плодами лишь следующее поколение.

Конечно, теория математических единоборств имеет определенную ценность: это теория, которая однажды сможет предложить свои услуги. Может быть, этот день уже близок. Мы этого не знаем. Необходимо действовать с двух сторон — как математической, так и философской. Что игра дает побуждение к этому, так это в порядке вещей. В развитии человечества на долю игры всегда выпадала роль стимулятора, и она делала свое дело привлекательно и разумно. В то время как пандан оказался несостоятельным, играющий обрел внезапную «плодотворную идею», которая помогла воздвигнуть прочную постройку. Можно надеяться, что при обучении, а это обучение еще является и желанием, игра столь же плодотворна, как это случалось некогда в искусстве и науке. И в этом смысле можно полагать, что те, кто разрабатывают теорию математических единоборств, делают обязательную работу ради будущего.