ПУФФ И ТРИКТРАК.
Это настольная игра, для которой необходим кубик. Следовательно, она связывает интеллектуальное начало на
стольных игр — в шахматах, го и шашек — с капризом случая. Доска состоит из 24 полей треугольной формы.
На одной стороне располагаются 12 полей, которым противостоят 12 полей на другой, и разделительная линия проходит от 6 к 12. Два игрока ходят попеременно. У каждого из них по 15 шашек, белые и черные, которые в начале партии устанавливаются на определенных полях. Ход заключается в бросании кубика и движении шашек, обусловленном этим броском. В соответствии с такой системой сконструированы многочисленные игры. Широко распространенная в Германии игра, известная под названием пуфф, не является занимательной, так как она предоставляет чрезмерно большое пространство случаю. Французская игра вышеописанного типа, называемая jacquet, в большей степени находится под господством стратегии, чем та, о которой шла речь. Самая распространенная — это, вероятно, игра французов, англичан и американцев, известная под названием трик-трак, гаммон или бакгаммон. Стратегические соображения этой игры, впрочем, применимы с некоторыми изменениями к играм класса, описанного выше.
Для нашей цели — исследования интеллектуального начала такого рода игр — достаточно рассмотреть триктрак.
Шашки белых двигаются в направлении от 1 к 24. Если все белые шашки собрались в четверти доски от 19 до 24, то они, в соответствии с броском, удаляются. И если белые лишились всех своих шашек, прежде чем это сделали черные, то они выиграли. Черные двигаются согласно тем же правилам в обратном направлении. Тем самым партия никогда не заканчивается вничью.
В немецком пуффе, jacquet и триктраке начальные позиции камней и правила двойного броска различны. В немецком пуффе шашки белых ставятся в соответствии с результатом броска на поля от 1 до 6, при каждом обычном броске, так как бросают два кубика, две шашки при двойном броске, например (1, 1) или (2, 2), но четыре шашки — ставится (gesetzt) не только бросок, но и его дополнение, дополнение к 7, следовательно, при (1, 1) также (6, 6), при (2, 2) также (5, 5) и т.д. При позднейших двойных бросках игрок устанавливает двойной бросок, следовательно, при (1, 1) 4 единицы, дополнение также двойное, т.е. при (1, 1) также 4 шестерки и, кроме того, имеет преимущество дополнительного броска. Это сильное предпочтение двойного броска, в особенности при изъятии шашек, и придает игре характерную иррациональную черту. При игре в jacquet, как и в триктраке, — только двойной бросок doppelt gesetzt, но большее преимущество ему не достается. Далее, в немецком пуффе имеет силу правило нанесения удара, согласно которому каждая отдельная шашка бьется неприятельской шашкой, вступившей на ее поле, и затем снова должна начать сначала. При следующем броске игрок должен снова применить свою побитую шашку, причем в соответствии с меньшим числом броска — например, при броске (3, 5) белых их побитая шашка должна занять 3, только вторая побитая шашка имеет право занять 5. Вообще при игре в немецкий пуфф вначале должно быть установлено меньшее число бросков. При игре в пуфф для белых заблокированы все поля, которые черные неоднократно занимали. В jacquet не бьют, а только блокируют; каждая шашка блокирует для противника занятое ею поле.
Это остроумная, ориентированная на ограничение продвижения противника, игра, в которой проявляется добродетель бережливости. При игре в триктрак правила нанесения удара и блокирования те же, что и в немецком пуффе, другие — лишь начальная позиция и правило двойного броска. Ни в триктрак, ни в jacquet не действует немецкое правило, в соответствии с которым сначала должен быть поставлен меньший бросок, но, напротив, у игрока в этом отношении полная свобода выбора.
Размышления о том, как найти правильную стратегию игры, следует начать с окончания. Представим себе простой случай, когда шашки собрались im Endquartier (конечная квартира) и речь идет в основном только о том, чтобы изъять их. Сколько бросков потребуется для этого, считая на позицию шашек? Мы ставим в первую очередь все 15 белых шашек на 24 и спрашиваем о вышеупомянутом числе бросков за этот крайний случай. С каждым простым броском игрок изымает две шашки, с каждым двойным — четыре. Двойной бросок, как правило, происходит однократно в ходе шести бросков. Два двойных броска среди шести — это редкий случай, так как обычно два таких броска имеют место только среди двенадцати. Следовательно, игрок обычно сможет сократить количество 15 шашек, собравшихся на 24, после шести бросков до одной, и достижение цели обойдется ему в семь бросков — один раз в шести случаях только шесть бросков, и примерно в 3 процентах случаев только пять бросков.
Если мы соберем 15 шашек на 19, то похожее соображение покажет нам, что игроку обычно нужны четырнадцать бросков, чтобы достичь цели. Чтобы преодолеть дистанцию в 15X6 единиц, игроку, следовательно, нужно в последнем случае обычно на семь бросков больше, чем если бы перед ним ставилась задача, как в первом случае, преодолеть дистанцию в 15X1 единиц. Если шашки распределены довольно равномерно, например, 2 на 19, 2 на 20, 3 на 21, 3 на 22, 3 на 23, 3 на 24, то с каждым простым броском игрок берет сначала две шашки, позже от одной до двух, с каждым двойным — две, три или четыре. Обычно ему понадобятся около восьми бросков, чтобы убрать шашки. Дистанция, которую ему при этом надо преодолеть, составляет 51 единицу. При наступлении одного крайнего случая на пятнадцать единиц требуется семь бросков, другого — четырнадцать на девяносто единиц. В случае появления уравновешенной позиции примерно на пятьдесят единиц требуется восемь бросков. Очевидно, что, если дело только в том, чтобы изъять шашки, то игрок поступит наилучшим образом, со всей возможной быстротой собрав их на конечный пункт, совершенно все равно, где. Но, если он продвинул далеко вперед свои шашки на конечный пункт, то средний результат каждого броска снижается, пока он не сократится, в крайнем случае до несколько более чем двух единиц.
Для достижения другой цели — для блокирования — уравновешенная позиция имеет очевидное преимущество. Предположим, что одна шашка черных побита, в то время как белая блокировала поля с 24 до 19 и собирается забрать ее пятнадцать шашек. В тот момент, когда блокирование поля устраняется, черные в одном случае из трех занимают поле с побитой шашкой. Если при этом они не бьют белую шашку и двигаются дальше вперед, то побитой шашке потребуется еще около трех бросков, чтобы придти домой. Так как побитая шашка обычно не вступает на пустое поле одним броском, то ей понадобятся обычно четыре- пять бросков, чтобы быть изъятой. Уравновешенная позиция нуждается примерно в восьми бросках, чтобы завершить партию. Следовательно, такая позиция, если неприятельская шашка побита, находится в равновесии с противником, коль скоро он забрал еще примерно семь-восемь шашек в конечный пункт. Побитая шашка ведет себя как восемь шашек в конечном пункте.
Опасность, которой подвергаются белые — плененная черная шашка при вставке бьет белую шашку, — невелика: ведь белые в большинстве случаев могут поступить так, что не оставят в одиночестве ни одной шашки.
Предположим, что позиция белых уравновешена, все поля блокированы, на 19 стоят две белые шашки, и, если белые бросают 3 и 6, то с 6 они вынут из 19, но 3 они не вынут из 22, а поставят 3 с отдельной шашкой от 19 до 22. Если бы они этого не сделали, то в одном случае из трех его шашка при следующем броске побила противника, и он наверстал бы от четырех до пяти бросков, даже если противник не блокировал бы побитую шашку. Более неблагоприятным будет положение, если в позиции белых после изъятия некоторых шашек выявляются слабости. Если, например, у белых есть пары на 24, 23, 22 и на 19, то почти каждый бросок, при котором появляется 1 или 2, принуждает белых к тому, чтобы изолировать шашку. Таковы, например, 1 или 2 с 3, 4, 5 или 6. Удачные броски, двойной бросок (6, 5), (6, 4), (6, 3), (5, 4), (5, 3), (4, 3) происходят в этом случае не чаще неудачных. И если черные в только своем конечном пункте имеют блокирующую позицию, то такую партию они спасут примерно в одном случае из восьми или девяти.
Я оценил некоторые из вышеприведенных числовых данных и советую моим читателям контролировать их, проводя анализ. Это вообще хороший метод. Самый надежный авторитет — это, наряду с принудительной дедукцией, собственный опыт. Для исследователя не будет серьезным «преступлением» следовать в отдельных вопросах своему суждению и при этом совершать ошибки, если только в важнейших пунктах он проявит чрезвычайную добросовестность. Чем существеннее вопрос, тем более тщательным должно быть его исследование. Но время и силы исследователя невелики, он ими и должен обходиться, чтобы чего-то добиться, должен также время от времени рисковать. Он не может сам решить все проблемы. Достаточно и того, что он ставит важные вопросы, даже если опыт многих несколько преобразует цифровые данные. С помощью большого математического аппарата эти вопросы решаются до мелочей, но для игрока лучше обратиться к методу, полезному в жизни, и, значит, это не столько математический, сколько статистический метод наблюдения, который ему необходим.
К существенным проблемам игры я причисляю проблему структуры ее теории. Как следует обращаться с теорией, какие шаги следует предпринять друг за другом, чтобы, бережливо относясь ко времени и силе, прийти к пониманию? В этом и заключается главный вопрос.
Нам следует также рассмотреть случай, когда белые собрали свои шашки в конечном пункте, в то время как черные по-прежнему занимали там еще несколько блокированных позиций. Например, у черных от четырех до пяти шашек на 24 и 23, у белых пятнадцать на 19, 20, 21 и 22. Далее, черные сохраняют блокирующую позицию, которую белой шашке, если бы она была побита, было бы трудно пробить. Какова опасность того, — а с ней сталкиваются белые — что какая- либо из их шашек останется в одиночестве на поле и затем будет побита? Белые должны взять каждую шестую из 19, каждую пятую из 20, каждую четвертую из 21, и, бросая 3, игрок может поставить на 3 или взять из 22, бросая на 2 или 1, он должен поставить. Белые будут стремиться держать свои шашки примыкающими друг к другу. Если у них есть пара на 19, то бросок (6, 4) или (6, 5) приведет к разъединению на 19.Если есть пара на 20, то бросок (5, 5), (5, 4) или (5, 3) имеет тот же результат. Если пара находится на 21, то броски (6, 4), (5, 4), (3, 4) и (2, 4) неблагоприятны. Если имеется пара на 19, 20, 21, то броски, ведущие к разъединению — это (6, 5), (6, 4), (5, 4), (5, 3), (4, 3) и (4, 2). Если шашка не имеет прямого контакта с другими, то у черных столь же хорошие шансы как побить ее, так и ускользнуть от белых. Если белые ускользают на 19, что происходит в пяти случаях из шести, то им угрожает новая опасность на 20 и, если удастся убежать оттуда, то на 21. Можно предположить, что они так же часто могут быть побиты на 19, 20 и 21, как и оказаться в безопасности. Двойные броски в целом благоприятны для белых.
Если белые побиты, то партия складывается для них неблагоприятно, и черным не стоит бить вторую белую шашку, если только черные не создадут надежную блокирующую позицию.
Если черные блокировали только одно поле своего дома, то опасность, с которой сталкиваются белые, существенно снижается. Хотя вероятность того, что они должны лишить одну шашку непосредственного контакта с другими, и велика, но побитая шашка ускользнет в двух случаях из трех. Можно предполагать, что черные проиграют такую партию в трех случаях из четырех.
Хотелось бы проанализировать еще несколько эндшпилей и провести с ними ряд опытов, но вышеуказанные типы являются существенными и речь может идти о том, чтобы и дальше использовать их и еще точнее определить шансы.
Обратимся теперь к вопросу о том, какой стратегией следует руководствоваться игроку в начале и середине партии.
Главное понятие этой стратегии — блокирующая цепь. Очевидно, шесть пар, занявшие шесть полей, расположенных друг за другом, блокируют продвижение каждой неприятельской шашки. Пять пар, расположенных друг за другом, хотя и являются значительным препятствием для продвижения противника, это воспрепятствование не носит абсолютного характера. С каждыми шестью, которые он получает в результате броска, противник мог бы забирать шашки, т.е. обычно при каждом третьем броске одну, а при каждом двойном — четыре. Это означает, что противник должен ставить единицы, двойки, тройки, четверки и пятерки, стоящие перед цепью, причем их блокирующая сила уменьшается, или со стоящими за цепью. Он должен в среднем из 36 бросков, под которыми шесть двойных бросков или «дублетов», 14 единиц, 14 двоек, 14 троек, 14 четверок, 14 пятерок относительно нецелесообразно ставить и может ходить через заграждение только 14 шестерками. Отсюда можно установить, что препятствие из пяти плотно прилегающих друг к другу полей обычно может задержать 15 шашек противника более чем на 36 бросков, конечно, при условии, возможности сохранить препятствие.
Обычный же ход блокирования заключается в том, что от этого блокирования через некоторое время приходится отказаться из-за недостатка ходов. К тому же оно происходит нечасто, не считая, например, jacquet и немецкого пуффа.
Блокирующая цепь обычно прерывается неприятельской парой. Эта пара служит противнику в качестве промежуточной остановки для его шашек, ищущих прохода через вражеское войско. Наоборот, будут иметь место стремления создать «полосу» даже в бреши препятствия, созданного противником. Наиболее целесообразно было бы позволить противнику построить три блокирующих поля, но за ними занять переход, которого можно достичь с каждым броском с результатом в 4, 5 или 6. В результате этого не будет почти никаких препятствий. Труднее перешагнуть через цепь из четырех блокирующих полей, ибо такое препятствие срабатывает при бросках вроде двойной четверки, двойной тройки, двойной двойки, двойной единицы (4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), (2, 1), т.е. при 13 из 36 бросков в качестве серьезной помехи.