ООО «Шахматы», Санкт-Петербург,
тел: +7-905-223-03-53

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. 

Любезности бакалавра Т. В. Баркера (A. R. C. S, Лондон) я обязан рассуждениями о магических фигурах, фрагмент которых и представляю здесь. Магические квадраты целых чисел, нанесенные на камне или металле несколько тысяч лет назад в Индии и, вероятно, в Египте и Аравии, применялись в качестве амулетов или талисманов.

В Каджурахо (Индия) обнаруживается надпись джайна со следующим квадратом:

225

 

который обладает «магическим» свойством — составлять в сумме 34 в каждом ряду, линии или диагонали. Подобным образом изображен магический квадрат на воротах крепости Гавлиор в Индии:

226 

В китайском документе 1125 г. до н.э. д-р Пол Кэрис обнаружил находившийся рядом магический квадрат.

Нечетные числа в нем указывались белыми точками, эмблемами неба, четные — черными, эмблемами Земли. Вергилий (эклога VIII, 70) сказал: «Numero deus impare gau- det» (Угодно нечетное богу. — Лат., прим. пер.).

227

Нечетные числа ценились выше четных. По словам Пифагора, «число — ключ вещей»: здесь разгадываются многочисленные связи, бросающие свет на ранние времена нашей культуры.

В европейской культуре магические квадраты упоминаются только в начале XV в., жившим в Константинополе греческим философом Эммануилом Москопулосом. Агриппа из Неттесгейма упоминает их в связи с использованием в астрологии: он конструировал магические квадраты с длиной сторон 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и ассоциировал их с Сатурном, Юпитером, Марсом, Солнцем, Венерой, Меркурием и Луной. Эти «магические» или «планетарные» квадраты были выгравированы на металлических пластинах и использовались в качестве талисманов, серебряный магический квадрат был оберегом против чумы.

На картине Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (1514 г.) квадрат виден рядом с колоколом, песочными часами, весами и другими инструментами.

228 2

 

В сферу вычислений магический квадрат вошел в XVII в. Тогда он был определен и сконструирован, и понят его закон. Потерял ли он с тех пор свое очарование? Уж наверняка не полностью. Он касается еще и нашего понимания прекрасной формы и позволяет нам немного почувствовать тайну законов.

Научное исследование магических фигур начали французские математики. Первопроходцами были Баше де Ме- зириак, Френикль де Бесси и Ферма в XVII в., де ля Ир, Совёр, Д’Ом е Бри и Де Урме в XVIII в. Гениальный математик Леонард Эйлер поставил проблемы (между прочим, и часто обсуждаемую проблему офицера) тесно связанные с проблемой магических квадратов. Новая литература по данному предмету принадлежит в основном Биолле, Фросту, Гюнтеру, Лукасу, Баллю, Планку, Рилли, Эндрюсу и Дадни.

По существу (согласно Эндрюсу) имеется только один магический квадрат чисел от 1 до 9, напротив, существуют уже 4 352 квадрата чисел от 1 до 16 и, по крайней мере, 28 800 квадратов чисел от 1 до 25. Число же магических квадратов с большей длиной стороны еще неизвестно.

Для конструирования магических квадратов чисел от 1 до n2 известны различные методы. Ранее всего известный тип конструкции немного бессистемен. Де ля Ир и Эйлер больше, чем их предшественники, углублялись в причины дела. Они писали числа n2 в системе n, например, от 1 .. 81 соответствующего магического квадрата в системе девяти, в которой 9 пишется как 10, 19 выражается как 21, и каждое число 9a+b, где как a, так и b меньше 9, появляется под символом ab. По причинам целесообразности они заменяют каждое из чисел магического квадрата предшествующим ему, 1 нулем, 81 — 80 и т.д.

Если проблема разрешена, то пары букв n, состоящие из прописной и строчной букв, так вписываются в ячейки квадрата n2, чтобы в каждом ряду и линии каждая буква появлялась точно один раз, тогда в результате этого в руках оказывается метод, позволяющий легко конструировать магические квадраты. Например, такое расположение для n = 5.

228

Теперь можно в любой последовательности заменить A, B, C, D, E на числа 1, 2, 3, 4, а также a, b, c, d, e и читать пары чисел в системе числа 5, так что сумма чисел каждого ряда и линии будет иметь один и тот же результат, так как при этом каждый раз складываются пятерки и 1+2+3+4 единицы. В диагонали от Aa до Dd появляются все прописные буквы, но только одна буква a. Чтобы пять a дали сумму 10, a должно быть = 2. Подобным же образом для другой диагонали обнаруживается E = 2. Если в соответствии с этим установить, например, для A 0, для B 3, для C 1, для E 2, для a 2, для b 0, для c 1, для d 4, для e 3, то в системе числа 5 получим

229 2

При перенесении этого в десятичную систему и увеличении каждого из вышеприведенных чисел на одну единицу получаем магический квадрат

 230

Теперь можно понять, как с помощью технической хитрости применить систему числа n и с помощью некоторых математических соображений легко сконструировать магические квадраты. Это происходит настолько легко, что математики ощущали потребность усложнить свою задачу, связывая ее решение с большими условиями, чем требовалось первоначально.

Правда, вышеуказанное расположение прописных и строчных букв разрешимо не для каждого n, например, не для n = 6. В таких случаях поступают по-другому, не так, как описано выше, но по своей основной идее эти способы весьма близки друг другу. Для того, чтобы пары чисел Aa и т.д. отличались друг от друга, достаточно, чтобы A, B ... хоть как-то распределялись по рядам, а a, b, c... — по линиям.

Например, для n = 6 группы (0, 5) (1, 4) (2, 3) распределяются по рядам и получают при оценке магическое свойство, так как 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Результатом является следующая схема:

231

Если скомбинировать это с соответствующей схемой, то в результате замены рядов линиями и пересчета в десятичную систему после того, как каждое число шестиричной системы увеличится на 1, возникнет магический квадрат

232

233

Найден также процесс, позволяющий с помощью магического квадрата длины стороны n перейти на квадрат с длиной стороны n + 2, увеличивая первый квадрат вверх, вниз, вправо и влево на группу чисел, окружающую его каймой.

Пример магических квадратов, обладающих рядом свойств, помимо магических, следующий (предложен Рилли)

234 

Суммирование чисел в ряду, линии или диагонали дает 260, а если сложить квадраты чисел в ряду, линии или диагонали, то результат составит 11 180.

Были открыты и фигуры другого характера, кубы и правильные многоугольники, обладающие магическими свойствами. Например, следующий правильный шестиугольник, который на все своих прямых дает сумму в 22.

229

Тайны чисел, самым тесным образом связанные с природой вещей, гармоничны и могущественны. Наше мышление овладело ими, но тайна всякий раз возникает заново после каждого остроумного хода мыслит и оказывается глубже, чем прежде.

 

ООО «Шахматы»

Санкт-Петербург

время работы с 10-00 до 19-00

тел. 983-03-53 или 8-905-223-03-53

 SKYPE - Piterchess

 ICQ - 229-861-097

 VIBER: +79052230353

 info@64ab.ru