Шахматы в Питере Шахматы в Питере

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-5)

Пойдем теперь к ряду трехчленных позиций, не содержащих 1, но зато 2. 2, 3, 6 — это позиция с угрозой потери, так
как ни уменьшение, ни расщепление одной из кучек не спасет делающего первый ход.

Подробнее...

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-6)

Рассмотрим еще одну модификацию игры «Возьми». Имеются два ряда камешков, на белой и на черной досках. Ход заключается в уменьшении кучки, остающейся на той же доске, или в передвижении кучки с белой доски на черную.

Подробнее...

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-7)

Перейдем теперь к тому, чтобы сконструировать своего рода «Возьми» — игры между тремя участниками. На столе несколько кучек — горох, бобы, чечевица и другой материал. A, B и C ходят по очереди согласно установленной последовательности.

 Ход заключается во взятии нескольких «фишек» одного и того же вида, например, горошин. Тот, кто опустошил стол, выиграл у своего партнера, находящегося впереди, в то время как партнер, находящийся сзади, остался ни с чем.

Я придаю большое значение последнему правилу. Игра изменяется в значительной мере, если партнер, находящийся сзади, проигрывает, а находящийся впереди остается с пустыми руками. Применительно к последнему случаю я хотя и смог применить метод «татуировки», что не представляет трудностей, все же несмотря на неоднократные усилия, не удалось продвинуться к общему правилу. Развлекать читателя моими напрасными попытками не имеет смысла. Я надеюсь, что кого-нибудь из моих читателей посетит счастливое озарение и проблема, с которой я не смог справиться, окажется решенной. Вот для тех, кто хочет предпринять такую попытку, привожу таблицу небольших позиций с угрозой потери и ничейных позиций, которые я нашел с помощью татуировки.

 

0, 2а+1,2а+1  V

3, 6а+5, 6а+7  V

4, 6а+1,6а+4V

5, 14, 17  V

0, 2а+1,2а+1  S

3, 6а+5, 6а+8  S

4, 6а+1,6а+5S

5, 14, 18  S

1, 2а+2, 2а+2  V

3, 6а,     6а+3  V

4, 6а+2, 6а+5 S

5, 15, 17 S

1, 2а+2, 2а+3 V

3, 6а, 6а+4   S

5, 7,    10    S

5, 16, 19 V

2, 2       2      V

3, 6а+1, 6а+3 S

5, 9,   11    S

5, 16, 20 S

2, 2      3      V

4, 6а,    6а+2  V

5, 9,   12    S

5, 19, 22 S

2, а+3,   а+3  S

4, 6а,   6а+3  S

5, 11,   13    S

 

 Ряд, начинающийся с 5, обладает периодом в 12 единиц, т.е. 5, 26, 29 - V, т.к. 5, 14, 17 - V и т.д.

Для игры, причем находящийся впереди партнер того, кто опустошает стол, проигрывает, я нашел, вероятно, общее правило, которое хочу теперь показать. Очевидно, в этой игре имеют силу, как минимум, три вида позиций. 0, 0, 1 — выигрышная позиция, 0, 0, 0 — проигрышная, 0, 1, 1 — ничейная. Метод «татуировки» познакомит нас с новыми позициями, но никогда они не будут иными, нежели вышеописанного характера; т.к. игра не позволит в какой-то новый момент проявиться интересам A, B и C. Если A занимает выигрышную позицию, то он будет стремиться передать B позицию с угрозой потери. Независимо от хода B, будет стремиться к тому, чтобы спасти самого себя, передать C выигрышную позицию, и так игра продолжается до тех пор, пока B, делая ход, не увидит, что стол пуст.

Это можно увидеть точнее, когда начинается «татуировка». 0, 0, a — выигрышная позиция, 0, 1, а имеет характер ничьей, a, a — позиция с угрозой потери, как нетрудно увидеть. Мы переходим теперь к четырехчленным кучкам. 1, 1, 1,1 взят, как вообще 1, 1, 1, a, где а по меньшей мере = 1. 1, 1, 2,2 передается в выигрышную позицию и, следовательно, является частью большой кучки ничейных позиций. То же касается 1, 1, a, b в том случае, если как а, так и b больше 1. Того же рода и позиция 1, 2, 2, a, где a = 2. Самая малая четырехчленная позиция иного рода — 1, 2, 3,3. Она проиграна, т.к. из нее нельзя перейти ни к выигрышной позиции, ни к позиции с угрозой потери.

Если продолжать этим путем «татуировку», мало-помалу открывается закон. Он гласит: позиция (a, b... c) какого угодно количества кучек проиграна, если, коль скоро числа a, b. c написаны друг под другом в двоичной системе, то число единиц в каждом ряду делится на 3. Например, позиция

1 001

 1 100

11 110

10 011

10 111

проиграна. При обычном способе написания эта позиция выглядит следующим образом: 9, 12, 30, 19, 23. Если сделать в ней любой ход, то из нее возникнет ничейная позиция, которую другой игрок должен превратить в выигрышную, чтобы защититься. Оборонительный ход заключается, например, в том, чтобы убрать третью кучку. В результате возникает позиция

1 001

1 100

10 011

 10 011

Четыре первых ряда содержат теперь две единицы.

Проблема следующего хода заключается теперь в том, чтобы создать выигрышную позицию. Это достигается с помощью целесообразного изменения третьего числа, а именно в 1 101; вслед за чем в каждом ряду находится от одной до трех единиц. Так возникает позиция

1 001

 1 100

1 101

10 111,

и сокращение четвертого числа на 101 делает отсюда позицию с угрозой потери.

Или, чтобы привести другой пример, имеется позиция с угрозой потери

1 011

1 110

11 110

10 001

10 101,

а защитой является удаление третьего ряда. Проблема заключается теперь в том, чтобы из

1 011

 1 110

10 001

10 101

создать выигрышную позицию. Это возможно несколькими способами, например, с помощью сокращения третьего числа на 111, вслед за чем сокращение четвертого числа на 101 приводит к созданию позиции с угрозой потери. Должен ли я облечь метод в слова? Задача это нетрудная. В каждой позиции, возникающей в результате любого хода из позиции с угрозой потери, есть один или несколько рядов, число единиц в которых, разделенное на 3, дает остаток 2. Рассмотрим теперь те из числа сомнительных рядов, которые расположены дальше всего влево. Он содержит 2, 5 или 8... по меньшей мере, следовательно, две единицы. Возьмем какие-либо две линии, имеющие единицы в каждом ряду. Согласно тезису двумя ходами можно с помощью разрешенного изменения обеих этих линий достичь позиции с угрозой потери. Для этого по меньшей мере две единицы должны стать нулями, по одной за каждый ход. Этого было бы достаточно, если бы в других рядах еще не было бы выполнено вышеуказанное условие — 2 в остатке. Чтобы привести и эти ряды в соответствие с условием позиции с угрозой потери, исследуем, какие числа должны стоять на обеих линиях в одном из этих рядов. Это может быть 0, 0, 0, 1 или 1, 1. При положении 0, 0 один из нулей должен быть превращен в 1, при положении 1, 1 обе единицы должны стать нулями. При этом способе условие позиции с угрозой потери снова достаточно, и тезис доказан.

Если есть намерение, можно определить число необходимых ходов, находящихся в распоряжении игрока. Игрок, который сводит вничью, всегда имеет выбор, выигравший может легко попасть в положение, при котором его лучший шаг однозначно определен.

Доказательство утверждения о том, что характер позиций с угрозой потери — как раз тот, что описан выше, вероятно, отчетливо просматривается из вышесказанного. Оно основывается на том, что из этого положения новая позиция может быть создана только в три хода, из которых первый какой угодно, в то время как остальные два целесообразны. Выше было показано, что дело так и обстоит. В результате действия мотивов, воздействующих на тех, кто точно играет, проигрывающий в конце концов получает наименее вероятную позицию с угрозой потери — пустой стол, который является внешним знаком потери.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-8)

Можно даже в соответствии с тем же алгоритмом вывода, охарактеризовать для аналогичной игры с участием n игроков позиции с угрозой потери как те, которые при двоичной записи кучек в каждом ряду дают число, делимое на «п». Правило игры заключается в том, что теряет больше всего тот, кто должен ходить при пустой доске.

Подробнее...

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-9)

Чтобы найти правильную стратегию, следует определить в каждом из возможных положений вероятный выигрыш делающего первый ход. Положение обозначается двумя числами, указывающими расстояние лошадок от их станции.

Подробнее...

ШАШКИ В ГЕРМАНИИ И АНГЛИИ.

Шашки — очень старая игра, как, вероятно, и слово Dam. В некоторых странах доска (шашечная — Ред.) для игры называется Damrod, а египетское название игры — Dameh. Эту игру культивировали коренные жители Новой Зеландии. Таким образом можно предположить, что игра уже в доисторические времена была прекрасным времяпрепровождением.

Подробнее...

ШАШКИ В ГЕРМАНИИ И АНГЛИИ (продолжение)

В английских шашках исход борьбы почти всегда решается превосходством в силах, и даже при одинаковой численности войск борьба часто заканчивается в пользу одного из противников, но никогда, в том числе и при ничейном исходе, эндшпиль не протекает без изящества.

Подробнее...

ДВЕНАДЦАТЬ ШЕДЕВРОВ.

То, о чем идет речь, называют также «первой позицией». Она представляет собой часто встречающийся мотив.

Подробнее...

Пэйн.

Эту позицию называют также «третьей позицией»

Подробнее...

ДВЕНАДЦАТЬ ШЕДЕВРОВ (продолжение)

Часто повторяющаяся основная стратегическая идея миттельшпиля заключается в том, что атакующий стремится к возможной маневренности, а защищающийся к обеспечению прочной позиции. Если защищающийся занял самую прочную из доступных ему позиций, то он будет ждать атаки. Атакующий угрозой размена, блокированием или коронацией шашек будет стремиться добиться продвижения.

Подробнее...