МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-5)
Пойдем теперь к ряду трехчленных позиций, не содержащих 1, но зато 2. 2, 3, 6 — это позиция с угрозой потери, так
как ни уменьшение, ни расщепление одной из кучек не спасет делающего первый ход.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-6)
Рассмотрим еще одну модификацию игры «Возьми». Имеются два ряда камешков, на белой и на черной досках. Ход заключается в уменьшении кучки, остающейся на той же доске, или в передвижении кучки с белой доски на черную.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-7)
Перейдем теперь к тому, чтобы сконструировать своего рода «Возьми» — игры между тремя участниками. На столе несколько кучек — горох, бобы, чечевица и другой материал. A, B и C ходят по очереди согласно установленной последовательности.
Ход заключается во взятии нескольких «фишек» одного и того же вида, например, горошин. Тот, кто опустошил стол, выиграл у своего партнера, находящегося впереди, в то время как партнер, находящийся сзади, остался ни с чем.
Я придаю большое значение последнему правилу. Игра изменяется в значительной мере, если партнер, находящийся сзади, проигрывает, а находящийся впереди остается с пустыми руками. Применительно к последнему случаю я хотя и смог применить метод «татуировки», что не представляет трудностей, все же несмотря на неоднократные усилия, не удалось продвинуться к общему правилу. Развлекать читателя моими напрасными попытками не имеет смысла. Я надеюсь, что кого-нибудь из моих читателей посетит счастливое озарение и проблема, с которой я не смог справиться, окажется решенной. Вот для тех, кто хочет предпринять такую попытку, привожу таблицу небольших позиций с угрозой потери и ничейных позиций, которые я нашел с помощью татуировки.
0, 2а+1,2а+1 V |
3, 6а+5, 6а+7 V |
4, 6а+1,6а+4V |
5, 14, 17 V |
||||||
0, 2а+1,2а+1 S |
3, 6а+5, 6а+8 S |
4, 6а+1,6а+5S |
5, 14, 18 S |
||||||
1, 2а+2, 2а+2 V |
3, 6а, 6а+3 V |
4, 6а+2, 6а+5 S |
5, 15, 17 S |
||||||
1, 2а+2, 2а+3 V |
3, 6а, 6а+4 S |
5, 7, 10 S |
5, 16, 19 V |
||||||
2, 2 2 V |
3, 6а+1, 6а+3 S |
5, 9, 11 S |
5, 16, 20 S |
||||||
2, 2 3 V |
4, 6а, 6а+2 V |
5, 9, 12 S |
5, 19, 22 S |
||||||
2, а+3, а+3 S |
4, 6а, 6а+3 S |
5, 11, 13 S |
Ряд, начинающийся с 5, обладает периодом в 12 единиц, т.е. 5, 26, 29 - V, т.к. 5, 14, 17 - V и т.д.
Для игры, причем находящийся впереди партнер того, кто опустошает стол, проигрывает, я нашел, вероятно, общее правило, которое хочу теперь показать. Очевидно, в этой игре имеют силу, как минимум, три вида позиций. 0, 0, 1 — выигрышная позиция, 0, 0, 0 — проигрышная, 0, 1, 1 — ничейная. Метод «татуировки» познакомит нас с новыми позициями, но никогда они не будут иными, нежели вышеописанного характера; т.к. игра не позволит в какой-то новый момент проявиться интересам A, B и C. Если A занимает выигрышную позицию, то он будет стремиться передать B позицию с угрозой потери. Независимо от хода B, будет стремиться к тому, чтобы спасти самого себя, передать C выигрышную позицию, и так игра продолжается до тех пор, пока B, делая ход, не увидит, что стол пуст.
Это можно увидеть точнее, когда начинается «татуировка». 0, 0, a — выигрышная позиция, 0, 1, а имеет характер ничьей, a, a — позиция с угрозой потери, как нетрудно увидеть. Мы переходим теперь к четырехчленным кучкам. 1, 1, 1,1 взят, как вообще 1, 1, 1, a, где а по меньшей мере = 1. 1, 1, 2,2 передается в выигрышную позицию и, следовательно, является частью большой кучки ничейных позиций. То же касается 1, 1, a, b в том случае, если как а, так и b больше 1. Того же рода и позиция 1, 2, 2, a, где a = 2. Самая малая четырехчленная позиция иного рода — 1, 2, 3,3. Она проиграна, т.к. из нее нельзя перейти ни к выигрышной позиции, ни к позиции с угрозой потери.
Если продолжать этим путем «татуировку», мало-помалу открывается закон. Он гласит: позиция (a, b... c) какого угодно количества кучек проиграна, если, коль скоро числа a, b. c написаны друг под другом в двоичной системе, то число единиц в каждом ряду делится на 3. Например, позиция
1 001
1 100
11 110
10 011
10 111
проиграна. При обычном способе написания эта позиция выглядит следующим образом: 9, 12, 30, 19, 23. Если сделать в ней любой ход, то из нее возникнет ничейная позиция, которую другой игрок должен превратить в выигрышную, чтобы защититься. Оборонительный ход заключается, например, в том, чтобы убрать третью кучку. В результате возникает позиция
1 001
1 100
10 011
10 011
Четыре первых ряда содержат теперь две единицы.
Проблема следующего хода заключается теперь в том, чтобы создать выигрышную позицию. Это достигается с помощью целесообразного изменения третьего числа, а именно в 1 101; вслед за чем в каждом ряду находится от одной до трех единиц. Так возникает позиция
1 001
1 100
1 101
10 111,
и сокращение четвертого числа на 101 делает отсюда позицию с угрозой потери.
Или, чтобы привести другой пример, имеется позиция с угрозой потери
1 011
1 110
11 110
10 001
10 101,
а защитой является удаление третьего ряда. Проблема заключается теперь в том, чтобы из
1 011
1 110
10 001
10 101
создать выигрышную позицию. Это возможно несколькими способами, например, с помощью сокращения третьего числа на 111, вслед за чем сокращение четвертого числа на 101 приводит к созданию позиции с угрозой потери. Должен ли я облечь метод в слова? Задача это нетрудная. В каждой позиции, возникающей в результате любого хода из позиции с угрозой потери, есть один или несколько рядов, число единиц в которых, разделенное на 3, дает остаток 2. Рассмотрим теперь те из числа сомнительных рядов, которые расположены дальше всего влево. Он содержит 2, 5 или 8... по меньшей мере, следовательно, две единицы. Возьмем какие-либо две линии, имеющие единицы в каждом ряду. Согласно тезису двумя ходами можно с помощью разрешенного изменения обеих этих линий достичь позиции с угрозой потери. Для этого по меньшей мере две единицы должны стать нулями, по одной за каждый ход. Этого было бы достаточно, если бы в других рядах еще не было бы выполнено вышеуказанное условие — 2 в остатке. Чтобы привести и эти ряды в соответствие с условием позиции с угрозой потери, исследуем, какие числа должны стоять на обеих линиях в одном из этих рядов. Это может быть 0, 0, 0, 1 или 1, 1. При положении 0, 0 один из нулей должен быть превращен в 1, при положении 1, 1 обе единицы должны стать нулями. При этом способе условие позиции с угрозой потери снова достаточно, и тезис доказан.
Если есть намерение, можно определить число необходимых ходов, находящихся в распоряжении игрока. Игрок, который сводит вничью, всегда имеет выбор, выигравший может легко попасть в положение, при котором его лучший шаг однозначно определен.
Доказательство утверждения о том, что характер позиций с угрозой потери — как раз тот, что описан выше, вероятно, отчетливо просматривается из вышесказанного. Оно основывается на том, что из этого положения новая позиция может быть создана только в три хода, из которых первый какой угодно, в то время как остальные два целесообразны. Выше было показано, что дело так и обстоит. В результате действия мотивов, воздействующих на тех, кто точно играет, проигрывающий в конце концов получает наименее вероятную позицию с угрозой потери — пустой стол, который является внешним знаком потери.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-8)
Можно даже в соответствии с тем же алгоритмом вывода, охарактеризовать для аналогичной игры с участием n игроков позиции с угрозой потери как те, которые при двоичной записи кучек в каждом ряду дают число, делимое на «п». Правило игры заключается в том, что теряет больше всего тот, кто должен ходить при пустой доске.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЕДИНОБОРСТВА (продолжение-9)
Чтобы найти правильную стратегию, следует определить в каждом из возможных положений вероятный выигрыш делающего первый ход. Положение обозначается двумя числами, указывающими расстояние лошадок от их станции.
ШАШКИ В ГЕРМАНИИ И АНГЛИИ.
Шашки — очень старая игра, как, вероятно, и слово Dam. В некоторых странах доска (шашечная — Ред.) для игры называется Damrod, а египетское название игры — Dameh. Эту игру культивировали коренные жители Новой Зеландии. Таким образом можно предположить, что игра уже в доисторические времена была прекрасным времяпрепровождением.
ШАШКИ В ГЕРМАНИИ И АНГЛИИ (продолжение)
В английских шашках исход борьбы почти всегда решается превосходством в силах, и даже при одинаковой численности войск борьба часто заканчивается в пользу одного из противников, но никогда, в том числе и при ничейном исходе, эндшпиль не протекает без изящества.
ДВЕНАДЦАТЬ ШЕДЕВРОВ.
То, о чем идет речь, называют также «первой позицией». Она представляет собой часто встречающийся мотив.
ДВЕНАДЦАТЬ ШЕДЕВРОВ (продолжение)
Часто повторяющаяся основная стратегическая идея миттельшпиля заключается в том, что атакующий стремится к возможной маневренности, а защищающийся к обеспечению прочной позиции. Если защищающийся занял самую прочную из доступных ему позиций, то он будет ждать атаки. Атакующий угрозой размена, блокированием или коронацией шашек будет стремиться добиться продвижения.